Persamaan Linear Dua Variabel
 

Bentuk Umum Persamaan Linear Dua Variabel (PLDV)

ax+by=c

Contoh: 2x+4y=8

Keterangan:

Variabel =x dan y.  

Koefisien =2 dan 4. 

Konstanta =8.

Contoh Soal:

Himpunan penyelesaian persamaan x+2y=4 adalah ….

Pembahasan:

Catatan! Pada PLDV, himpunan penyelesaian merupakan semua titik yang memenuhi persamaan tersebut.

Untuk menentukan himpunan penyelesaian, substitusikan x dengan sembarang bilangan.

x=0→x+2y0+2yy​=4=4=2.​

x=1→x+2y1+2yy​=4=4=23​.​

x=2→x+2y2+2yy​=4=4=1.​

x=−1→x+2y−1+2yy​=4=4=25​.​

x=−2→x+2y−2+2yy​=4=4=3.​

HP={(0,2), (1,23​), (2,1), (−1,25​), (−2,3)}.

Kelima titik tersebut termasuk ke dalam himpunan penyelesaian dan dapat ditandai pada koordinat kartesius sehingga membentuk suatu garis lurus.

Gambar di atas merupakan gambar dari garis lurus x+2y=4.

#materiUTBK2024 #PengetahuanKuantitatif #PersamaanLinear

Definisi, Persamaan, dan Pertidaksamaan Nilai Mutlak Satu Variabel

#materiUTBK2024 #PengetahuanKuantitatif #PersamaanLinear

Persamaan Linear Satu Variabel
 

Persamaan linear satu variabel adalah persamaan yang memiliki tepat 1 variabel berpangkat 1. Bentuk umum dari persamaan linear satu variabel adalah:

ax+b=C

dengan a,b,C∈R

Contoh:

Carilah penyelesaian dari 4x+16=20!

Jawab:

4x+16​=20

4x=20-16

4x=4

x=1

Jadi, penyelesaian persamaan linear di atas adalah x=1.

#materiUTBK2024 #PengetahuanKuantitatif #PersamaanLinear

Persamaan Garis Lurus
 

Persamaan garis lurus adalah persamaan matematika yang memuat dua variabel dengan pangkat tertinggi setiap variabenya adalah satu.

Bentuk umum persamaan garis lurus: y=mx+c.

Keterangan:

x= Variabel bebas

y= Variabel terikat

m= Kemiringan garis/gradien

c= Konstanta

Contoh:

DIketahui persamaan garis y=2x+6.

Berdasarkan persamaan di atas maka:

Variabel bebas =x

Variabel terikat =y

Kemiringan garis =2

Konstanta =6.

Titik Potong

Titik potong garis dengan sumbu x dapat dicari dengan mensubstitusikan y=0 ke persamaan garisnya.

Titik potong garis dengan sumbu y dapat dicari dengan mensubstitusikan x=0 ke persamaan garisnya.

Contoh:

Diketahui persamaan garis y=2x+6.

Titik potong garis dengan sumbu x terjadi ketika y=0. 

y=2x+60=2x+62x=−6x=−3→(−3,0).

Titik potong garis dengan sumbu y terjadi ketika x=0.

y=2x+6y=2(0)+6y=6→(0,6).

Kemiringan Persamaan Garis Lurus

Kemiringan/gradien garis lurus menunjukkan seberapa jauh kemiringan yang terjadi pada suatu garis dalam koordinat.

Kemiringan dengan Bentuk Persamaan Diketahui

Persamaan garis yang berbentuk y=mx+c memiliki gradien sebesar m.

Contoh 1: 

2y22y​y​=4x+6=24x​+26​=2x+3→ m=2.​

Contoh 2:

3x−4y+5−4y−4−4y​y​=0=−3x−5=−4−3x​−45​=43​x−45​→ m=43​​

Kemiringan dari Dua Titik yang Diketahui

Persamaan garis yang melalui titik (x1​,y1​) dan (x2​,y2​) memiliki gradien sebesar

m=x2​−x1​y2​−y1​​

Contoh:

Kemiringan garis yang melalui titik (−2,3) dan (−4,−3) adalah ….

Pembahasan:

(x1​,y1​)=(−2,3)

(x2​,y2​)=(−4,−3)

m=x2​−x1​y2​−y1​​m=−4−(−2)−3−3​m=−2−6​m=3.

Persamaan Garis yang Melalui Satu Titik

Jika diketahui gradien m dan satu titik (x1​,y1​) yang dilalui garis, maka persamaan garisnya adalah 

y−y1​=m(x−x1​).

Contoh:

Persamaan garis lurus dengan gradien 21​ dan melalui titik (4,1) adalah ….

Pembahasan:

(x1​,y1​)=(4,1)

y−y1​y−1y−1y​=m(x−x1​)=21​(x−4)=2x​−2=21​x−1.​

Persamaan Garis yang Melalui Dua Titik

Jika diketahui dua titik (x1​,y1​) dan (x2​,y2​) yang dilalui garis, maka persamaan garisnya adalah

y2​−y1​y−y1​​=x2​−x1​x−x1​​.

Contoh:

Persamaan garis lurus yang melalui titik (1,2) dan (2,−3) adalah ….

Pembahasan:

(x1​,y1​)=(1,2)

(x2​,y2​)=(2,−3)

y2​−y1​y−y1​​−3−2y−2​−5y−2​y−2y​=x2​−x1​x−x1​​=2−1x−1​=1x−1​=−5x+5=−5x+7.​
 

#materiUTBK2024 #PengetahuanKuantitatif #KoordinatKartesius

Jarak Dua Titik
 

Apabila terdapat dua titik pada bidang Kartesius, yaitu titik A (x1​,y1​) , dan B (x2​,y2​) seperti berikut:

maka jarak antara kedua titik dapat dihitung dengan menggunakan aplikasi dari teorema Pythagoras. 

Pada gambar, terlihat bahwa jarak dari titik A dan B adalah panjang garis miring AB pada segitiga siku-siku. 

AB2​=AC2+DC2=(x2​−x1​)2+(y2​−y1​)2​

AB= (x2​−x1​)2+(y2​−y1​)2​

Sehingga jarak dua titik A (x1​,y1​) , dan B (x2​,y2​) memiliki rumus: 

JarakAB​= (x2​−x1​)2+(y2​−y1​)2​

Contoh: Jarak antara titik (2,4) dan (−2,7) adalah...

Diketahui: 

x1​=2,y1​=4

x2​=−2,y2​=7

Jarak dua titik​= (−2−2)2+(7−4)2​=(−4)2+(3)2​=16+9​=25​=5​

#materiUTBK2024 #PengetahuanKuantitatif #KoordinatKartesius

Kuadran

Pada sistem koordinat Kartesius, perpotongan antara sumbu-x dan sumbu-y membagi bidang koordinat ke dalam 4 daerah yang disebut sebagai Kuadran I, Kuadran II, Kuadran III, dan Kuadran IV.

Kuadran I merupakan daerah yang dibatasi oleh sumbu-x positif dan sumbu-y positif. Semua titik yang letaknya di Kuadran I memiliki absis positif dan ordinat positif.

Contoh: (6, 5)(6,5) 

Kuadran II merupakan daerah yang dibatasi oleh sumbu-x negatif dan sumbu-y positif. Semua titik yang letaknya di Kuadran II memiliki absis negatif dan ordinat positif. 

Contoh: (-8, 2)(−8,2) 

Kuadran III merupakan daerah yang dibatasi oleh sumbu-x negatif dan sumbu-y negatif. Semua titik yang letaknya di Kuadran III memiliki absis negatif dan ordinat negatif. 

Contoh: (-3, -4)(−3,−4) 

Kuadran IV merupakan daerah yang dibatasi oleh sumbu-x positif dan sumbu-y negatif. Semua titik yang letaknya di Kuadran IV memiliki absis positif dan ordinat negatif. 

Contoh: (2, -7)(2,−7) 

#materiUTBK2024 #PengetahuanKuantitatif #KoordinatKartesius

Koordinat Titik Pada Bidang Kartesius
 

Koordinat Kartesius adalah sistem koordinat yang diciptakan oleh Rene Decartes yang dipakai untuk menentukan posisi atau letak suatu titik dalam grafik dengan menggunakan dua bilangan yang disebut koordinat x dan koordinat y. 

Sumbu-x dan Sumbu-y

Koordinat Kartesius juga disebut sebagai koordinat persegi karena bentuknya pada bidang dua dimensi menyerupai  bangun persegi. Pada Koordinat Kartesius terdapat dua sumbu, yaitu sumbu-x dan sumbu-y.  

Sumbu-x pada koordinat kartesius adalah garis bilangan yang memanjang ke kiri dan ke kanan secara horizontal. 

Sedangkan sumbu-y pada koordinat kartesius adalah garis bilangan yang memanjang ke atas dan ke bawah secara vertikal. Titik perpotongan antara sumbu-x dan sumbu-y adalah titik asal dengan koordinat (0,0) yang biasa disebut sebagai titik O.

Cara Penulisan Titik

Untuk mendeskripsikan suatu titik tertentu dalam sistem koordinat ini, nilai x (absis) ditulis terlebih dahulu, kemudian diikuti dengan nilai y (ordinat). Dengan demikian, letak suatu titik selalu ditulis dengan format (x , y)(x,y) dan urutannya tidak boleh terbalik.    

Arah: 

Ketika nilai x atau absis bertambah, maka titik akan semakin bergeser ke kanan. Sedangkan, ketika nilai-x atau absis berkurang, maka titik akan semakin bergeser ke kiri. 

Ketika nilai y atau ordinat bertambah, maka titik akan semakin bergeser ke atas. Sedangkan, ketika nilai-y atau ordinat berkurang, maka titik akan semakin bergeser ke bawah.  

Letak Titik di atas dan di bawah Sumbu-x dan sumbu-y. 

Titik yang berada di atas sumbu-x memiliki ordinat positif, sedangkan titik yang berada di bawah sumbu-x memiliki memiliki ordinat negatif.

Titik yang berada di atas sumbu-y memiliki absis positif, sedangkan titik yang berada di bawah sumbu-y memiliki memiliki absis negatif.

#materiUTBK2024 #PengetahuanKuantitatif #KoordinatKartesius

Diagram Venn
 

Diagram venn adalah diagram yang menunjukkan hubungan antara beberapa himpunan yang terletak pada semesta yang sama

Gambar diagram venn untuk jenis-jenis hubungan dua himpunan atau lebih:

1. Diagram venn himpunan bagian

Jika himpunan A merupakan himpunan bagian dari himpunan B, maka seluruh lingkaran himpunan A berada di dalam himpunan B.

Contoh:

S={x∣−5<x≤10,x∈Bilangan bulat}

S={−4,−3,−2,−1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}

A={3,4,6,7} 

B={1,2,3,4,5,6,7,8}

Sehingga A⊂B. 

Diagram venn dari contoh himpunan-himpunan ini adalah sebagai berikut:

2. Diagram venn himpunan saling lepas

Himpunan saling lepas adalah himpunan-himpunan yang tidak memiliki satu pun unsur yang sama.

Contoh:

S={x∣10<x<30,x∈Bilangan bulat}

S={11,12,13,14,15,…,29,30}

A={y∣10<y<30,y∈Bilangan ganjil}

A={11,13,15,17,…,27,29}

B={z∣10<z<30,z∈Bilangan genap}

B={12,14,16,18,…,26,28}

Maka A∩B=∅ karena tidak ada anggota yang sama. 

Diagram venn dari himpunan-himpunan  ini digambarkan sebagai berikut:

3. Diagram venn himpunan tidak saling lepas

Himpunan yang tidak saling lepas adalah himpunan-himpunan yang memiliki unsur yang sama.

S={x∣−4≤x≤13,x∈Bilangan bulat}

S={−4,−3,−2,...,12,13}

A={1,3,5,7,8,9,11,13}

B={−4,−2,−1,0,1,2,4,7,8,13}

Maka A∩B={1,7,8,13}. 

Diagram venn dari himpunan-himpunan ini digambarkan sebagai berikut:

4. Diagram venn himpunan sama

S={huruf vokal}

A={huruf vokal pada kata MATEMATIKA}

A={A,E,I}

B={huruf vokal pada kata PETANI}

B={A,E,I}

Maka A=B karena seluruh anggotanya sama. 

Diagram venn dari himpunan-himpunan ini dapat digambarkan sebagai berikut:

#materiUTBK2024 #PengetahuanKuantitatif #Himpunan

Komplemen Himpunan

#materiUTBK2024 #PengetahuanKuantitatif #Himpunan

Irisan, Gabungan, dan Selisih
 

#materiUTBK2024 #PengetahuanKuantitatif #Himpunan

Himpunan Semesta
 

Apa itu himpunan semesta?

Himpunan semesta adalah himpunan yang memuat seluruh anggota yang sedang dibicarakan pada soal.

Contohnya, terdapat beberapa himpunan sebagai berikut:

A={1,2,3,4,…,17,18,19}

B={−11,−12,13,14,15}

C={1,3,5,7,8,9,11,13}

D={−102,−99,−77,−33}

Keempat himpunan beranggotakan bilangan bulat positif dan juga negatif, sehingga beberapa himpunan semesta yang sesuai adalah:

S={Bilangan bulat}

S={x∣−109≤x≤19,x∈Bilangan bulat}

S={x∣−200<x<200,x∈Bilangan bulat}

Perhatikan bahwa masing-masing himpunan S ini memuat himpunan A, B, C, dan D sehingga memenuhi syarat untuk menjadi himpunan semesta. 

#materiUTBK2024 #PengetahuanKuantitatif #Himpunan

Himpunan Bagian
 

Apa itu himpunan bagian?

Himpunan A adalah himpunan bagian dari himpunan B jika setiap anggota A termuat di B. Dinotasikan dengan A⊂B.

Sebaliknya, himpunan A bukan merupakan himpunan bagian dari himpunan B jika terdapat anggota A yang tidak termuat di B. Dinotasikan dengan A​⊂B.

Contoh:

A={3,4,6,7} dan B={1,2,3,4,5,6,7,8}. Setiap anggota A termuat di B, sehingga A⊂B. 

Akan tetapi, B​⊂A karena ada anggota himpunan B yang tidak termuat di himpunan A, yaitu 1,2,5,8.

#materiUTBK2024 #PengetahuanKuantitatif #Himpunan

Himpunan Sama dan Ekuivalen

Apa itu himpunan yang sama?

Himpunan A dan B adalah himpunan sama jika dan hanya jika setiap anggota dari kedua himpunan sama.

Notasi himpunan sama: A=B⟺A⊆B dan B⊆B.

Contoh dua himpunan sama:

A={huruf vokal pada kata MATEMATIKA}={A,E,I}

B={huruf vokal pada kata PETANI}={A,E,I}

A dan B adalah himpunan sama karena setiap anggotanya sama.

Contoh dua himpunan yang tidak sama:

C={x∣x<20,x∈Z+}={1,2,3,4,…,17,18,19}.

D={y∣y<20,y∈Bilangan prima}={2,3,5,7,11,13,17}.

C dan D tidak sama karena terdapat anggota yang berbeda.

Apa itu himpunan ekuivalen?

Himpunan A dan B adalah himpunan ekuivalen jika dan hanya jika memiliki jumlah anggota atau kardinalitas yang sama.

Banyaknya anggota atau kardinalitas dari himpunan A dinotasikan sebagai n(A) atau bisa juga ∣A∣.

Notasi himpunan ekuivalen: A∼B⟺n(A)=n(B).

Contoh dua himpunan ekuivalen:

A={huruf vokal pada kata MATEMATIKA}={A,E,I}→n(A)=3.

B={huruf konsonan pada kata PETANI}={P,T,N}→n(B)=3.

Jadi, A dan B ekuivalen atau ditulis A∼B karena sama-sama memiliki 3 anggota.

Contoh dua himpunan yang tidak ekuivalen:

C={x∣x<5,x∈Z+}={1,2,3,4}→n(C)=4.

D={y∣10<y≤15}={11,12,13,14,15}→n(D)=5.

Jadi, A dan B tidak ekuivalen karena banyak anggotanya tidak sama.

#materiUTBK2024 #PengetahuanKuantitatif #Himpunan

Penyajian Himpunan
 

3 Cara untuk menyajikan atau menuliskan himpunan:

1. Notasi pembentuk himpunan

Contoh:

A={x∣x<20,x∈Z}.

B={y∣2≤y<12,y∈Bilangan prima}.

C={z∣z≥−10,z∈Z−}.

2. Menuliskan sifat yang dimiliki anggotanya

Contoh:

A adalah himpunan bilangan bulat yang lebih kecil dari 20.

B adalah himpunan bilangan prima dimulai dari 2 dan lebih kecil dari 12.

C adalah himpunan bilangan bulat negatif yang lebih besar dari -10.

3. Enumerasi atau mendaftarkan anggotanya

Contoh:

A={...,−2,−1,0,1,2,…,17,18,19}.

B={2,3,5,7,11}.

C={−10,−9,−8,−7,−6,−5,−4,−3,−2,−1}.

#materiUTBK2024 #PengetahuanKuantitatif #Himpunan

Pengertian Himpunan
 

Apa itu himpunan?

Himpunan adalah kumpulan unsur, benda, atau objek sejenis yang didefinisikan dengan jelas.

Contoh himpunan:

Kumpulan siswa yang mendapat nilai TO di atas 500

Kumpulan hewan karnivora

Kumpulan siswa yang menggunakan kacamata

Kumpulan bilangan bulat

Contoh bukan himpunan:

Kumpulan soal UTBK yang sulit (bukan himpunan karena standar “sulit” bagi setiap orang bisa saja berbeda dan subjektif, sehingga tidak terdefinisi dengan jelas).

Kumpulan siswa yang tinggi (bukan himpunan karena standar “tinggi” bagi setiap orang bisa saja berbeda dan subjektif, sehingga tidak terdefinisi dengan jelas).

Kumpulan handphone yang murah (bukan himpunan karena standar “murah” bagi setiap orang bisa saja berbeda dan subjektif, sehingga tidak terdefinisi dengan jelas).

#materiUTBK2024 #PengetahuanKuantitatif #Himpunan